Le modèle TGR de construction des apprentissages est directement issu des réflexions des auteurs constructivistes ; les étapes de Transition et de Généralisation ont été définies par Piaget qui n’a, semble-t-il, pas noté l’importance de l’étape de Représentation, décrite par Bruner mais surtout par Wygotski.
Que disent les auteurs constructivistes ?
Piaget écrit, par exemple, au sujet du cheminement mental vers la notion de la multiplication ?
« Si nous retrouvons, sous des présentations aussi bénignes, les difficultés habituelles de la multiplication, nous pouvons espérer parvenir à dégager leurs raisons et du même coup les conditions d’abstraction réfléchissante rendant la multiplication utilisable et compréhensive. »[1] (Piaget, 1977, p32)
« Le premier stade montre déjà de façon claire la différence entre l’addition, où la pensée est centrée sur les objets que l’on réunit à d’autres, donc sur le résultat de cette réunion, et la multiplication où il s’agit en plus de dégager le nombre de fois qu’on les réunit donc de dénombrer les opérations comme telles et non plus seulement leurs résultats en tant que nombre des objets transférés. »1 (Piaget, 1977, p32)
Effectivement, l’addition fonctionne bien, les tableaux fonctionnent bien. Pourquoi ? Ainsi que le dit Piaget, dans le cas de l’addition, la pensée est centrée sur un seul sujet (la réunion d’éléments identiques). Dans le cas de la multiplication il y a deux sujets à suivre pour faire la réunion de tous les éléments, la cardinalité de l’ensemble de départ et le nombre de fois qu’il faudra le prendre. En mathématiques, nous parlons de loi de composition interne ou externe.
La pensée ne peut pas facilement suivre et ‘contrôler’ ces deux sujets à la fois ce qui est conforme aux modèles de Vygotski [2] (p 54, 417) ou de Bruner[3] (p 193), qui parlent bien, respectivement, d’une seule « unité de base » ou d’un seul « prototype » pour amorcer le raisonnement.
Les tableaux, avec une entrée (addition) ou deux entrées (multiplication) forment un tout comme l’eau que l’on ne peut pas décomposer en ses «éléments constitutifs (H2 + O2) » sans en changer totalement les propriétés, suivant l’exemple de Vygotski (p 51). Les tableaux sont donc nos « unités de base » à partir desquelles le raisonnement pourra se développer dans une seule direction. Nous utiliserons aussi l’expression, « image mentale prototype multi-sensorielle » ou plus simplement, « image mentale »
[1] Piaget (J), Recherches sur l’abstraction réfléchissante: 1/L’abstraction des relations logico-arithmétiques. Paris: PUF, 1977
[2] Vygotski, Pensée et Langage, Moscou 1934, censuré en 1936, réédité à Moscou en 1956, traduction Sève (F) La Dispute, Paris, 1997
[3] Bruner (J), L’éducation, entrée dans la culture. Les problèmes de l’école à la lumière de la psychologie culturelle. Retz : Paris, 1996,
L’Abstraction Réfléchissante de Jean Piaget
Que dit Piaget des apprentissages mathématiques (*) ?
Il est tout d’abord surpris, comme nous le sommes, en découvrant certaines difficultés (il y a plus de 50 ans…).
« Nous pensons aux difficultés surprenantes de l’enfant à comprendre la signification des multiplications ultrasimples. » (Piaget, p 7)
« Avec le stade de 11-12 ans qui est celui de la pensée formelle, donc des abstractions sur les abstractions ou de la réflexion à la nième puissance, le sujet trouve enfin les solutions… On est surpris qu’il faille attendre ce niveau d’âge pour des raisonnements aussi simples. » (Piaget, p24)
« Reste alors à expliquer une telle myopie à l’égard de structures multiplicatives aussi simples et même transparentes. » (Piaget, p35)
Il propose ensuite une démarche cognitive ‘l’abstraction réfléchissante’ pour les apprentissages logico-arithmétiques : Deux étapes qu’il oppose à ‘l’abstraction empirique’ pour les concepts quotidiens :
« En premier lieu elle transpose sur un plan supérieur ce qu’elle emprunte au palier précédent (par exemple en conceptualisant une action) et nous désignerons ce transfert ou cette projection sous le terme de « réfléchissement ». En second lieu elle doit alors nécessairement reconstruire sur le nouveau plan B ce qui est tiré de celui de départ A, ou mettre en relation les éléments extraits de A avec ceux déjà situés en B: Cette réorganisation obligée par le réfléchissement sera dite « Réflexion ». » (Piaget, p 6)
La ‘Réflexion’ est aussi définie comme « la réorganisation d’un nouveau tout »
Comment interpréter la pensée de Piaget ?
Nous représentons le modèle proposé pour les abstractions logico-arithmétiques par une échelle dont la progression de barreau en barreau s’effectue ainsi :
Prenant appui sur l’un des barreaux, l’on peut atteindre le barreau au-dessus (Réfléchissement ou Différenciation).
A ce moment-là le poids du corps repose sur le nouveau barreau (Réflexion ou Généralisation) ce qui permettra une nouvelle progression.
Ce modèle imagé permet de comprendre la progression en mathématiques. La progression doit être verticale, l’assimilation de chaque concept étant indispensable pour aborder le suivant ; ainsi, si le concept ‘multiplication’ n’est pas assimilé, la progression sur l’échelle logico-arithmétique est donc bloquée. On ne peut en sauter un barreau !
Références : * Piaget (J), Recherches sur l’abstraction réfléchissante: 1/L’abstraction des relations logico-arithmétiques. Paris: PUF, 1977.
L’image mentale prototype de Jérôme Bruner
« … Des trois modes de représentation[1] , décrits par Bruner, le mode ‘énactif’ (les actions), le mode ‘iconique’ (les images) et le mode ‘symbolique’ (le langage) qui prennent plus ou moins d’importance et s’articulent différemment et de façon complémentaire suivant les périodes de la vie (figure 2b), il faut reconnaître que le mode ‘symbolique’, c’est à dire l’approche verbale par le langage écrit ou oral est adoptée préférentiellement dans notre enseignement des mathématiques depuis des décennies. Mais cette présentation ne convient plus à un très grand nombre d’écoliers ou d’élèves, comme nous l’avons vu précédemment (Innumérisme, ‘Constats’, pages 6 et 7). Nous préférons privilégier les deux autres modes ‘énactif’ et ‘iconique’ en conservant le minimum du mode ‘symbolique’, ce qui aboutit en fait à travailler dans la partie colorée en jaune du schéma (figure 2b, p 12). Ce choix, avec les outils proposés à nos élèves en difficulté de 7 à 16 ans, aboutit à la formation d’une image que nous avons choisi d’appeler « image mentale ». Elle va nous servir de concept « prototype »[2] pour des développements et raisonnements ultérieurs. J. Piaget avec « l’abstraction empirique » semble décrire, sinon le même mode de représentation [3].
[1] Bruner (J), L’éducation, entrée dans la culture. Les problèmes de l’école à la lumière de la psychologie culturelle », Retz, 1996, p 193.
[2] Ibidem Bruner, p 193
[3] Ibidem Piaget, p 5
L’Unité de Base de Lev Semionovitch Vygotski
« … Mais Vygotski étudie ensuite les concepts scientifiques en distinguant les « concepts quotidiens » issus de l’expérience (pensée technique)[1] et les « concepts scientifiques » introduits par l’apprentissage scolaire. Il introduit, comme vu précédemment (page 10), la notion d’unité de base du concept[2], «edinica » en russe; comme l’eau, « qui éteint le feu», et que l’on décomposerait en Hydrogène et en Oxygène (mélange explosif), cette unité de base est un « tout[3] » que l’on ne peut diviser sans prendre le risque de changer ses propriétés. Dans cette expression nous croyons pouvoir retrouver la notion d’ « image mentale prototype » qui serait donc commune aux deux modèles (Bruner et Vygotski chronologiquement le premier à la décrire). A chaque abstraction aboutie correspondra alors une nouvelle représentation prototype, verbale et (ou) imagée. Si les concepts scientifiques se développent plutôt de la définition verbale (langage automatique) vers l’expérience (pensée technique), il est évident que si aucune image technique n’est associée, l’abstraction sera beaucoup plus difficile et l’image mentale ne pourra se « fixer » chez les élèves « fragiles ». C’est l’ensemble de ce cheminement qu’il nomme « pensée verbale » … »
Nous préciserons le mot « image » par le terme d’ « image mentale» ou mieux, de Représentation, pour séparer le sens ‘étymologique’ de « portrait » donc de ‘représentation visuelle’, de celui plus général de ‘représentation mentale multi-sensorielle’ où le toucher, notamment, a sa place.
Notons, aussi, que la ZPD est bien la Zone Prochaine de Développement. Le terme « proximal » ne correspond pas à la pensée de Vygotski que F. Sève a plus justement traduit « prochaine ». Le modèle d’apprentissage représente, ainsi, une construction de proche en proche que Piaget, dans son « abstraction réfléchissante », n’aurait pas reniée, s’il avait connu les écrits de l’auteur russe censuré par Staline. Il le dit, d’ailleurs, dans un commentaire publié en appendice de la traduction de l’ouvrage de Vygotsky, en 1997.
Notre modèle constructiviste est ainsi mis en place.
[1] Vygotski (L), Pensée et Langage, 1934, Moscou, La dispute, Paris, (Traduction de Françoise Sève) 1997, p 272.
[2] Ibidem, Vygotski, p 54, 417.
[3] Ibidem Vygotski, p 51.